构型与振幅

Configurations And Amplitude

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那么，宇宙并不是由小台球构成的，也不是由以太之海中的波峰与波谷构成的……那么，构成万物之物，到底是由什么构成的呢？

图 1

在图 1 中，我们看到，在 A 处有一面半镀银镜，以及两个光子探测器：探测器 1 和探测器 2。

早期科学家在做这类实验时，对结果究竟意味着什么感到困惑。他们会让一个光子朝着半镀银镜射去，然后一半时间看到探测器 1 咔嗒一响，另一半时间看到探测器 2 咔嗒一响。

早期科学家——你会觉得这很好笑——认为这面镀银镜有一半时间会把光子偏折开，而另一半时间则让它通过。

哈，哈！难道半镀银镜会在不同场合做出不同的事似的！我希望你把这个念头彻底放下，因为如果你抓住早期科学家的看法不放，你就会陷入极大的困惑。半镀银镜每次都遵守同一条规则。

如果你要写一个计算机程序，让它就是这个实验——不是一个预测实验结果的程序，而是一个与底层现实相似的程序——那它大概会像这样：

在程序开始时（也就是实验开始时，时间开始时），有一个特定的数学实体，叫作一个构型。你可以把这个构型理解为对应着「有一个光子正从光子源朝半镀银镜飞去」，或者简写成「一个正朝 A 前进的光子」。

一个构型可以存储单个复数值——这里的「复」指的是复数（a + bi），其中 i 被定义为 −1 的平方根。程序一开始，构型「一个正朝 A 前进的光子」里就已经存着一个复数。只要它不等于零，具体数值是什么都不要紧。我们就让构型「一个正朝 A 前进的光子」的值等于（−1 + 0i）。

这一切都是疆域内部的事实，而不是对任何人知识状态的描述。构型不是命题，也不是世界可能呈现的一种方式。构型是程序中的一个变量——你可以把它想成一种内存位置，其索引是「一个正朝 A 前进的光子」——而它存在于外在的疆域之中。

由于被赋给构型的复数，并不是介于 0 和 1 之间的正实数，所以不用担心把它们和概率搞混。「一个正朝 A 前进的光子」的复数值是 −1，这很难被看成某种信念程度。这些复数同样是程序内部的值，依旧存在于疆域之中。我们把这些复数称为振幅。

还有另外两个构型，我们把它们称为「一个从 A 前往探测器 1 的光子」和「一个从 A 前往探测器 2 的光子」。这些构型现在还没有复数值；它会在程序运行过程中被赋上。

我们要利用「一个正朝 A 前进的光子」的值，以及描述 A 处半镀银镜的那条规则，来计算「一个从 A 朝 1 前进的光子」和「一个从 A 朝 2 前进的光子」的振幅。

粗略地说，半镀银镜的规则是：「当光子直行时乘以 1；当光子以直角转弯时乘以 i。」这是一条普遍规则，它把「一个入射光子」这一构型的振幅，联系到「一个直行射出的光子」或「一个被偏折的光子」这些构型所得到的振幅之上。1

所以，我们把构型「一个正朝 A 前进的光子」的振幅（也就是（−1 + 0i））送入 A 处的半镀银镜，于是它把振幅（−1 + 0i） × i = (0 − i) 传送给「一个从 A 朝 1 前进的光子」，同时也把振幅（−1 + 0i） × 1 = (−1 + 0i) 传送给「一个从 A 朝 2 前进的光子」。

在图 1 的实验里，这就是我们需要关心的全部构型与全部传递振幅，所以我们已经算完了。或者，如果你想把「探测器 1 接收到一个光子」和「探测器 2 接收到一个光子」也看成独立构型，那么它们就分别直接继承「A 到 1」和「A 到 2」的值。（实际上，继承来的值还应该再乘上另一个复数因子，对应于从 A 到探测器的距离；但我们暂时忽略这一点，并假设我们实验中的一切传播距离恰好都对应复数因子 1。）

所以，程序的最终状态是：

构型「一个正朝 A 前进的光子」：（−1 + 0i）

构型「一个从 A 朝 1 前进的光子」：（0 − i）

构型「一个从 A 朝 2 前进的光子」：（−1 + 0i）

以及可选地

构型「探测器 1 接收到一个光子」：（0 − i）

构型「探测器 2 接收到一个光子」：（−1 + 0i）。

每次你运行这个程序（每次你做这个实验），都会得到同样的结果——同样的振幅存储在同样的构型里。

现在，出于一些复杂的原因——这些考虑属于比基础量子力学更高一层的组织层次，就像原子比夸克更复杂一样——并不存在一种简单的测量仪器，能直接告诉我们每个构型精确的振幅。我们无法直接看见程序状态。

那么，物理学家怎么知道振幅是什么？

我们确实有一种神奇的测量工具，它能告诉我们某个构型振幅的模长平方。如果原始的复振幅是（a + bi），我们就能得到正实数（a2 + b2）。想想勾股定理：如果你把复数想成二维平面上从原点伸出的一支小箭头，那么这个神奇工具会告诉你这支小箭头长度的平方，但它不会告诉你箭头指向哪个方向。

更精确地说，这个神奇工具实际上只告诉我们某些构型中振幅长度平方的比值。我们不知道这些箭头绝对有多长，只知道它们彼此相对有多长。但事实证明，这已经足够让我们重建物理定律——也就是程序的规则了。所以我可以谈论振幅本身，而不仅仅是模长平方的比值。

当我们把这件神奇工具对准「探测器 1 接收到一个光子」和「探测器 2 接收到一个光子」时，我们发现这两个构型的模长平方相同——箭头的长度相同。神奇工具如是说。通过做更多复杂的实验（我们很快就会看到），我们还可以判断：原始复数的比值是 i 对 1。

那么，这个神奇的测量工具到底是什么？

嗯，从日常生活的视角来看——那是远远远远高于量子层次、也复杂得多的层次——这个神奇测量工具，就是我们一次一个地把一些光子射向半镀银镜，然后在几千次试验中统计抵达探测器 1 和探测器 2 的光子各有多少。两者的比值，就是振幅模长平方的比值。但为什么会如此，并不是我们现在要考虑的事情。先学会走，再学会跑。在你理解那些更简单情形里发生了什么之前，不可能先理解一路往上到日常生活层次时发生了什么。

就今天的目的而言，我们拥有一台神奇的「模长平方比值读取器」。而这台神奇工具告诉我们：构型「探测器 1 接收到一个光子」对应的那支二维小箭头，其长度平方和「探测器 2 接收到一个光子」的一样。仅此而已。

你也许会想：「既然这个神奇工具是这样工作的，那为什么我们要使用量子理论，而不是继续认为半镀银镜有大约一半时间会反射光子呢？」

嗯，这简直是在主动要求自己陷入困惑——让自己进入那种历史上看似真实的思维框架，再拿日常直觉来思考。我有说过什么「一个小台球不是往这边走就是往那边走，并且也许会从镜子上弹开」之类的话吗？现实不是那样运作的。现实关乎的是复振幅在构型之间流动，而这种流动的定律是稳定的。

不过，如果你坚持要看一个更复杂的情形，一个台球式思维无法应付的情形，这里就有一个更复杂的实验。

图 2

在图 2 中，B 和 C 是全反射镜，A 和 D 是半镀银镜。从 D 到 E 的那条线之所以画成虚线，原因很快就会显现；但振幅沿着从 D 到 E 的流动，所遵守的定律完全相同。

现在让我们把刚才学到的规则用上：

在时间开始时，「一个正朝 A 前进的光子」的振幅是（−1 + 0i）。

接着我们来计算「一个从 A 前往 B 的光子」和「一个从 A 前往 C 的光子」这两个构型的振幅：

| 「一个从 A 前往 B 的光子」 | = | i × 「一个正朝 A 前进的光子」 |

||

| | = | (0 − i) 。 |

类似地，

| 「一个从 A 前往 C 的光子」 | = | 1 × 「一个正朝 A 前进的光子」 |

||

| | = | (−1 + 0i) 。 |

全反射镜的行为（如你所预料）就像半面半镀银镜——全反射镜只是把东西以直角折过去，并乘上 i。（稍微更精确地说：对于全反射镜，从「一个入射光子」这一构型流向「一个以直角射出的光子」这一构型的振幅，会被乘上因子 i。）

所以：

| 「一个从 B 到 D 的光子」 | = | i × 「一个从 A 前往 B 的光子」 |

||

| | = | (1 + 0i) ， |

| 「一个从 C 到 D 的光子」 | = | i × 「一个从 A 前往 C 的光子」 |

| | = | (0 − i) 。 |

「B 到 D」和「C 到 D」是两个不同的构型——我们并不简单写成「D 处有一个光子」——因为在这两个不同构型中，光子是从两个不同角度到达 D 的。而 D 对光子做什么，取决于光子到达的角度。

再说一次，这条规则（粗略地说）是：当半镀银镜把光以直角折过去时，从「入射中的光子」构型流向「射出中的光子」构型的振幅，等于入射构型的振幅乘以 i。而当两个构型通过半镀银镜的「让光直穿过去」这一情形联系起来时，从入射构型流出的振幅就乘以 1。

所以：

• 从构型「一个从 B 到 D 的光子」出发，其原始振幅为（1 + 0i）：

  • 振幅（1 + 0i） × i = (0 + i) 流向「一个从 D 到 E 的光子」。

  • 振幅（1 + 0i） × 1 = (1 + 0i) 流向「一个从 D 到 F 的光子」。

• 从构型「一个从 C 到 D 的光子」出发，其原始振幅为（0 − i）：

  • 振幅（0 − i） × i = (1 + 0i) 流向「一个从 D 到 F 的光子」。

  • 振幅（0 − i） × 1 = (0 − i) 流向「一个从 D 到 E 的光子」。

因此：

• 流向构型「一个从 D 到 E 的光子」的总振幅是（0 + i） + (0 − i) = (0 + 0i) = 0。

• 流向构型「一个从 D 到 F 的光子」的总振幅是（1 + 0i） + (1 + 0i) = (2 + 0i)。

（如果你在某个步骤上跟丢了，也许可以试着自己拿纸笔把它算一遍。）

但从那种我们通常视为正常生活的、超高层次的「实验」视角来看，其结论是：我们在 E 处看不到任何光子被探测到。每一个光子似乎都会最终到达 F。在「D 到 E」和「D 到 F」之间，模长平方的比值是 0 比 4。这也就是为什么图中从 D 到 E 的线被画成虚线。

如果你把半镀银镜想成有一半时间会把入射小台球偏折开，你就不可能解释这种现象。你必须用振幅流来思考。

如果半镀银镜真的是有一半时间把一颗小台球偏折开，那么在这种装置下，这颗小球就会大约一半时间落到探测器 1，一半时间落到探测器 2。可事实并非如此。所以别那样想。

你也许会说：「但等等！我还能想出另一个能解释这个结果的假说。会不会是：当半镀银镜反射一个光子时，它会对这个光子做点什么，从而保证它下一次不会被反射？而当它让光子直穿过去时，它又会对光子做点什么，好让它下一次被反射。」

可说真的，没必要把规则搞得这么复杂。记住奥卡姆剃刀。老老实实待在简单、正常的构型间振幅流上就好。

不过，如果你还想要另一个能驳倒你这套新备选假说的实验，那就是图 3。

图 3

在这里，我们把整个实验装置都保持不变，只是在 B 和 D 之间放了一个小小的阻挡物。这就保证了「一个从 B 到 D 的光子」这一构型的振幅为 0。

一旦你去掉那个构型带来的振幅贡献，你最终就会得到：「一个从 D 到 F 的光子」里的总值是（1 + 0i），而「一个从 D 到 E 的光子」里的总值是（0 − i）。

（1 + 0i）和（0 − i）的模长平方都等于 1，所以那件神奇的测量工具会告诉我们：两者的模长平方之比为 1。一直往上回到那个有物理学家存在的层次，我们应该会发现探测器 1 有一半时间响起，而探测器 2 也有一半时间响起。

如果我们把阻挡物放在 C 和 D 之间，同样的事也会发生。振幅本身会不同，但模长平方的比值仍然是 1，所以探测器 1 有一半时间响起，探测器 2 也有一半时间响起。

这种事绝不可能发生在那种「小台球要么被半镀银镜反射、要么不被反射」的图景里。

因为复数可以拥有相反的方向，比如 1 和 −1，或者 i 和 −i，振幅流就可以彼此相消。流入构型 Y 的、从构型 X 来的振幅，完全可能被另一个等大反向、从构型 Z 流入构型 Y 的振幅抵消。事实上，这个实验里发生的正是这种事。

在概率论里，当某件事可能以这样或那样两种方式发生，也就是 X 或 ¬X 时，P(Z) = P(Z|X)P(X) + P(Z|¬X)P(¬X)。而且所有概率都为正。所以如果你已经确定：在 X 成立时 Z 发生的概率是 1/2，并且 X 成立的概率是 1/3，那么无论在 ¬X 的情形下发生什么，Z 发生的总概率都至少是 1/6。不存在什么负概率、比不可能还低的可信度，或者（0 + i）这种可信度，所以信念程度不可能像振幅那样彼此抵消。

更别说，概率本来就在心智之中；而我们现在谈论的是关于疆域、关于「现实即程序」本身，而不是关于人类认知或部分知识状态。

同理，构型也不是命题，不是陈述，不是世界在可设想中可能呈现的方式。构型不是语义构造。像可能的这样的形容词并不适用于它们；它们不是信念，不是句子，也不是可能世界。它们并无真假可言，而只是真实存在。

在图 2 的实验中，千万不要被诱惑去想类似这样的话：「光子会去 B 或 C 其中之一，但它本来可以走另一条路，而这种可能性干扰了它前往 E 的能力……」

把某种「本来可能发生但实际上没发生的事」想成会对世界施加影响，这是没有意义的。我们当然可以想象那些本来可能发生却没发生的事——比如想到「天哪，那辆车差点撞到我」——而我们的想象可能会影响我们未来的行为。但这个想象事件本身是一个真实事件，它确确实实地发生了；产生影响的正是那个事件。影响你行为的，是你对那个并未发生事件的想象——是你那个非常真实的想象，它落实在一个相当物理的脑中。

认为「车真的撞到你」这一实际事件——这个本来可能发生在你身上，但事实上并没有发生的事件——会直接对你的行为施加因果性影响，这就是在把地图和疆域混淆。

能影响世界的东西就是真实的。（如果某样东西在并不「真实」的情况下也能影响世界，那就很难看出「真实」这个词还是什么意思。）构型和振幅流是原因，它们会产生可见的结果；它们是真实的。构型不是可能世界，振幅也不是信念程度，就像你的椅子不是一个可能世界、天空也不是一种信念程度一样。

那么，构型到底是什么？

嗯，在后面的文章里，你会对此形成更清楚的理解。

不过，为了让你快速感受一下真实图景和我们在本文里看到的简化版本究竟差在哪里……

我们的实验装置只处理了一个运动粒子，也就是单个光子。下一篇文章会讨论多于一个粒子的情形，而那会让你对构型究竟是什么有清楚得多的认识。

我们讨论过的每个构型，原本都应该描述镜子与探测器中所有粒子的联合位置，而不只是一个四处蹦跶的光子的位置。

事实上，那些真正真实的构型，涉及的是宇宙中所有粒子的联合位置，其中也包括构成实验者本身的粒子。你可以理解为什么我要把实验结果这个概念留到后面的文章再谈了。

在真实世界里，振幅是在一个连续的构型空间上形成连续分布的。本文里的「构型」是块状的、数字式的；我们的「振幅流」也是如此。那就好像我们在讨论一个光子如何从一个地方传送到另一个地方。

如果这些话你一点都没听懂，也不用担心。后面的文章会把它们讲清楚。我只是想先让你大概知道，这一切会往哪个方向展开。

[编者按： 严格地说，标准的半镀银镜给出的规则应当是「当光子以直角转弯时乘以 −1」，而不是「乘以 i」。作者所描述的基本情境在物理上并非不可能，而这种处理也不影响实质论证。不过，如果物理专业的学生把这里的讨论和教科书中对 Mach–Zehnder 干涉仪的讨论相比较，可能会感到困惑。我们保留了正文里的这一特殊设定，因为它省去了说明镜子哪一面是半镀银面的需要，从而简化了实验。] ↩︎